510 Mathematik
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Die Behandlung von geometrischen Singularitäten bei der Lösung von Randwertaufgaben der Elastostatik stellt erhöhte Anforderungen an die mathematische Modellierung des Randwertproblems und erfordert für eine effiziente Auswertung speziell angepasste Berechnungsverfahren. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der systematischen Verallgemeinerung der Methode der komplexen Spannungsfunktionen auf den Raum, wobei der Schwerpunkt in erster Linie auf der Begründung des mathematischen Verfahrens unter besonderer Berücksichtigung der praktischen Anwendbarkeit liegt. Den theoretischen Rahmen hierfür bildet die Theorie quaternionenwertiger Funktionen. Dementsprechend wird die Klasse der monogenen Funktionen als Grundlage verwendet, um im ersten Teil der Arbeit ein räumliches Analogon zum Darstellungssatz von Goursat zu beweisen und verallgemeinerte Kolosov-Muskhelishvili Formeln zu konstruieren. Im Hinblick auf die vielfältigen Anwendungsbereiche der Methode beschäftigt sich der zweite Teil der Arbeit mit der lokalen und globalen Approximation von monogenen Funktionen. Hierzu werden vollständige Orthogonalsysteme monogener Kugelfunktionen konstruiert, infolge dessen neuartige Darstellungen der kanonischen Reihenentwicklungen (Taylor, Fourier, Laurent) definiert werden. In Analogie zu den komplexen Potenz- und Laurentreihen auf der Grundlage der holomorphen z-Potenzen werden durch diese monogenen Orthogonalreihen alle wesentlichen Eigenschaften bezüglich der hyperkomplexen Ableitung und der monogenen Stammfunktion verallgemeinert. Anhand repräsentativer Beispiele werden die qualitativen und numerischen Eigenschaften der entwickelten funktionentheoretischen Verfahren abschließend evaluiert. In diesem Kontext werden ferner einige weiterführende Anwendungsbereiche im Rahmen der räumlichen Funktionentheorie betrachtet, welche die speziellen Struktureigenschaften der monogenen Potenz- und Laurentreihenentwicklungen benötigen.
Im Mittelpunkt der Dissertation steht die Theorie der Differenzenpotentiale, die eng mit der klassischen Potentialtheorie verbunden ist. Vorgestellt wird eine Methode zur Lösung von Randwertproblemen, die nicht auf der Diskretisierung einer Randintegralgleichung beruht, sondern von der Übertragung des Problems in ein Differenzenrandwertproblem ausgeht. Das diskrete Randwertproblem wird mit Hilfe einer Randreduktionsmethode auf eine Randoperatorgleichung transformiert, die detaillierter zu untersuchen ist. Voraussetzung für den Aufbau der Theorie ist die Existenz diskreter Fundamentallösungen. Die Definition der Differenzenpotentiale wird von Ryabenkij übernommen. Seine Herangehensweise führt jedoch zu überbestimmten linearen Gleichungssystemen auf dem Rand. Durch die Aufspaltung des Randpotentials in ein diskretes Einfach- und Doppelschichtpotential wird diese Schwierigkeit in der Dissertation überwunden. Bewiesen werden Eindeutigkeits- und Lösbarkeitsaussagen für Differenzenrandwertprobleme. Das onvergenzverhalten der diskreten Potentiale wird im Kapitel 3 untersucht. Im Kapitel 4 werden numerische Resultate vorgestellt.
Stapelprobleme treten in der Praxis in vielfältiger Form auf. So finden sich Stapelprobleme in einer großen Fülle von Variationen im Logistikbereich, aber auch im Bauwesen. Zunächst wird das klassische Turm von Hanoi Problem kurz vorgestellt. Dieses Problem wird als Stapelproblem formuliert. Weiterhin werden verzweigte Stapelproblem untersucht: Ein gegebener Stapel -- bestehend aus den Elementen v der Menge V -- soll an anderer Stelle in einer vorgeschriebenen, veränderten Struktur wieder aufgebaut werden. Dazu stehen Hilfsstapelplätze zur Verfügung. Die Optimierung dieses Problems hinsichtlich der Anzahl der benötigten Hilfsstapelplätze ist NP-vollständig. Es werden Erfahrungen mit einem Branch-and-Bound Algorithmus zur Lösung des Problems vorgestellt sowie ein heuristischer Algorithmus diskutiert. Schließlich werden verzweigte Stapelprobleme betrachtet, bei denen keine eineindeutige Zuordnung mehr von Elementen des Ausgangsstapels zu verfügbaren Positionen im Zielstapel existiert. Hier ist schon die Bestimmung einer günstigsten Zuordnung in bezug auf die Anzahl benötigter Hilfsstapelplätze NP-schwer.
In this Thesis we study some complex and hypercomplex function spaces and classes such as hypercomplex Besov spaces, Bloch space and Op spaces as well as the class of basic sets of polynomials in several complex variables. It is shown that hyperholomorphic Besov spaces can be applied to characterize the hyperholomorphic Bloch space. Moreover, we consider BMOM and VMOM spaces.
After more than hundred years of arguments in favour and against quaternions, of exciting odysseys with new insights as well as disillusions about their usefulness the mathematical world saw in the last 40 years a burst in the application of quaternions and its generalizations in almost all disciplines that are dealing with problems in more than two dimensions. Our aim is to sketch some ideas - necessarily in a very concise and far from being exhaustive manner - which contributed to the picture of the recent development. With the help of some historical reminiscences we firstly try to draw attention to quaternions as a special case of Clifford Algebras which play the role of a unifying language in the Babylon of several different mathematical languages. Secondly, we refer to the use of quaternions as a tool for modelling problems and at the same time for simplifying the algebraic calculus in almost all applied sciences. Finally, we intend to show that quaternions in combination with classical and modern analytic methods are a powerful tool for solving concrete problems thereby giving origin to the development of Quaternionic Analysis and, more general, of Clifford Analysis.