Professur Angewandte Mathematik
Discrete function theory in higher-dimensional setting has been in active development since many years. However, available results focus on studying discrete setting for such canonical domains as half-space, while the case of bounded domains generally remained unconsidered. Therefore, this paper presents the extension of the higher-dimensional function theory to the case of arbitrary bounded domains in Rn. On this way, discrete Stokes’ formula, discrete Borel–Pompeiu formula, as well as discrete Hardy spaces for general bounded domains are constructed. Finally, several discrete Hilbert problems are considered.
Im Mittelpunkt der Dissertation steht die Theorie der Differenzenpotentiale, die eng mit der klassischen Potentialtheorie verbunden ist. Vorgestellt wird eine Methode zur Lösung von Randwertproblemen, die nicht auf der Diskretisierung einer Randintegralgleichung beruht, sondern von der Übertragung des Problems in ein Differenzenrandwertproblem ausgeht. Das diskrete Randwertproblem wird mit Hilfe einer Randreduktionsmethode auf eine Randoperatorgleichung transformiert, die detaillierter zu untersuchen ist. Voraussetzung für den Aufbau der Theorie ist die Existenz diskreter Fundamentallösungen. Die Definition der Differenzenpotentiale wird von Ryabenkij übernommen. Seine Herangehensweise führt jedoch zu überbestimmten linearen Gleichungssystemen auf dem Rand. Durch die Aufspaltung des Randpotentials in ein diskretes Einfach- und Doppelschichtpotential wird diese Schwierigkeit in der Dissertation überwunden. Bewiesen werden Eindeutigkeits- und Lösbarkeitsaussagen für Differenzenrandwertprobleme. Das onvergenzverhalten der diskreten Potentiale wird im Kapitel 3 untersucht. Im Kapitel 4 werden numerische Resultate vorgestellt.