TY - THES A1 - Bock, Sebastian T1 - Über funktionentheoretische Methoden in der räumlichen Elastizitätstheorie T1 - On the use of monogenic functions in the spatial theory of elasticity N2 - Die Behandlung von geometrischen Singularitäten bei der Lösung von Randwertaufgaben der Elastostatik stellt erhöhte Anforderungen an die mathematische Modellierung des Randwertproblems und erfordert für eine effiziente Auswertung speziell angepasste Berechnungsverfahren. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der systematischen Verallgemeinerung der Methode der komplexen Spannungsfunktionen auf den Raum, wobei der Schwerpunkt in erster Linie auf der Begründung des mathematischen Verfahrens unter besonderer Berücksichtigung der praktischen Anwendbarkeit liegt. Den theoretischen Rahmen hierfür bildet die Theorie quaternionenwertiger Funktionen. Dementsprechend wird die Klasse der monogenen Funktionen als Grundlage verwendet, um im ersten Teil der Arbeit ein räumliches Analogon zum Darstellungssatz von Goursat zu beweisen und verallgemeinerte Kolosov-Muskhelishvili Formeln zu konstruieren. Im Hinblick auf die vielfältigen Anwendungsbereiche der Methode beschäftigt sich der zweite Teil der Arbeit mit der lokalen und globalen Approximation von monogenen Funktionen. Hierzu werden vollständige Orthogonalsysteme monogener Kugelfunktionen konstruiert, infolge dessen neuartige Darstellungen der kanonischen Reihenentwicklungen (Taylor, Fourier, Laurent) definiert werden. In Analogie zu den komplexen Potenz- und Laurentreihen auf der Grundlage der holomorphen z-Potenzen werden durch diese monogenen Orthogonalreihen alle wesentlichen Eigenschaften bezüglich der hyperkomplexen Ableitung und der monogenen Stammfunktion verallgemeinert. Anhand repräsentativer Beispiele werden die qualitativen und numerischen Eigenschaften der entwickelten funktionentheoretischen Verfahren abschließend evaluiert. In diesem Kontext werden ferner einige weiterführende Anwendungsbereiche im Rahmen der räumlichen Funktionentheorie betrachtet, welche die speziellen Struktureigenschaften der monogenen Potenz- und Laurentreihenentwicklungen benötigen. N2 - In structural mechanics, boundary value problems with geometrical singularities require advanced mathematical modeling techniques and especially adapted numerical methods in order to obtain a precise description of the singular near field. This doctoral thesis deals with a systematic approach to a spatial analog of the method of complex stress functions. Here, the main focus is on the generalization of the mathematical method in consideration of the practical applicability. The theoretical framework is therefore constituted by methods of hypercomplex function theory in particular the theory of quaternion-valued functions. Thus, the class of monogenic functions is methodically used in the first part of the thesis to prove a spatial counterpart of Goursat's representation theorem that enables the construction of generalized Kolosov-Muskhelishvili formulae in three dimensions. The second part of the thesis is concerned with the local and global approximation of monogenic functions. In this context, new monogenic representation formulae of the canonical series expansions (Taylor, Fourier, Laurent) are defined by using complete orthogonal systems of solid spherical monogenics. These monogenic orthogonal series generalize the important structural properties of the complex-one-dimensional power and Laurent series expansions concerning the hypercomplex derivative and the monogenic primitive. Finally, representative examples are studied to evaluate the function-theoretical methods constructed here by means of their qualitative and numerical characteristics. In this connection, some further fields of application in the framework of hypercomplex function theory are considered, which essentially need the specific structural properties of the monogenic power and Laurent series expansions. KW - Lineare Elastizitätstheorie KW - Funktionentheorie KW - Clifford-Analysis KW - Hyperkomplexe Funktion KW - Fourier-Reihe KW - Taylor-Reihe KW - Laurent-Reihe KW - Darstellungssatz von Goursat KW - verallgemeinerte Kolosov-Muskhelishvili Formeln KW - monogene Orthogonalreihenentwicklungen KW - Fourier KW - Taylor KW - Laurent KW - generalized theorem of Goursat KW - generalized Kolosov-Muskhelishvili formulae KW - monogenic orthogonal series expansions Fourier KW - Taylor KW - Laurent Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:gbv:wim2-20100407-15030 UR - http://vg08.met.vgwort.de/na/cd7b10419c7f444490a4fdd5ef4184d1 ER - TY - THES A1 - Bock, Sebastian T1 - Approximation mit polynomialen Lösungen der Laméschen Differentialgleichung T1 - Approximation with Polynomial Solutions of Lamé Differential Equation N2 - Grundidee der Arbeit ist es, Lösungen von Randwertaufgaben durch Linearkombinationen exakter klassischer Lösungen der Differentialgleichung zu approximieren. Die freien Koeffizienten werden dabei durch die Bestimmung der besten Approximation der Randwerte berechnet. Als Basis der Approximation werden vollständige orthogonale und nahezu orthogonale Funktionensysteme verwendet. Anhand ausgewählter Beispiele mit Randvorgaben unterschiedlicher Glattheit wird am Beispiel der Kugel die prinzipielle Anwendbarkeit der Methode getestet und hinsichtlich der Entwicklung des Fehlers der Näherungslösung, der Stabilität des Verfahrens und des numerischen Aufwandes untersucht. Die erhaltenen Resultate geben einen begründeten Anlass, die Anwendung der Methode als Bestandteil einer hybriden analytisch-numerischen Methode, insbesondere der Verknüpfung mit der FEM, weiterzuverfolgen. KW - Legendre-Funktion KW - Lamé-Gleichung KW - Festkörpermechanik KW - Orthonormalbasis KW - Beste Approximation KW - Fourier-Reihe KW - Hyperholomorphe-Funktion KW - spherical harmonics KW - Lamé-equation KW - continuum mechanic KW - complete orthonormal system KW - best approximation Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:gbv:wim2-20111215-6409 N1 - Der Volltext-Zugang wurde im Zusammenhang mit der Klärung urheberrechtlicher Fragen mit sofortiger Wirkung gesperrt. ER -