@misc{Hamzah,
  type      = {Master Thesis},
  author    = {Hamzah, Abdulrazzak},
  title     = {L{\"o}sung von Randwertaufgaben der Bruchmechanik mit Hilfe einer approximationsbasierten Kopplung zwischen der Finite-Elemente-Methode und Methoden der komplexen Analysis},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.4093},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20200211-40936},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  abstract  = {Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit war es, eine stetige Kopplung zwischen der ananlytischen und numerischen L{\"o}sung von Randwertaufgaben mit Singularit{\"a}ten zu realisieren. Durch die inter-polationsbasierte gekoppelte Methode kann eine globale C0 Stetigkeit erzielt werden. F{\"u}r diesen Zweck wird ein spezielle finite Element (Kopplungselement) verwendet, das die Stetigkeit der L{\"o}sung sowohl mit dem analytischen Element als auch mit den normalen CST Elementen gew{\"a}hrleistet. Die interpolationsbasierte gekoppelte Methode ist zwar f{\"u}r beliebige Knotenanzahl auf dem Interface ΓAD anwendbar, aber es konnte durch die Untersuchung von der Interpolationsmatrix und numerische Simulationen festgestellt werden, dass sie schlecht konditioniert ist. Um das Problem mit den numerischen Instabilit{\"a}ten zu bew{\"a}ltigen, wurde eine approximationsbasierte Kopplungsmethode entwickelt und untersucht. Die Stabilit{\"a}t dieser Methode wurde anschließend anhand der Untersuchung von der Gramschen Matrix des verwendeten Basissystems auf zwei Intervallen [-π,π] und [-2π,2π] beurteilt. Die Gramsche Matrix auf dem Intervall [-2π,2π] hat einen g{\"u}nstigeren Konditionszahl in der Abh{\"a}ngigkeit von der Anzahl der Kopplungsknoten auf dem Interface aufgewiesen. Um die dazu geh{\"o}rigen numerischen Instabilit{\"a}ten ausschließen zu k{\"o}nnen wird das Basissystem mit Hilfe vom Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren auf beiden Intervallen orthogonalisiert. Das orthogonale Basissystem l{\"a}sst sich auf dem Intervall [-2π,2π] mit expliziten Formeln schreiben. Die Methode des konsistentes Sampling, die h{\"a}ufig in der Nachrichtentechnik verwendet wird, wurde zur Realisierung von der approximationsbasierten Kopplung herangezogen. Eine Beschr{\"a}nkung dieser Methode ist es, dass die Anzahl der Sampling-Basisfunktionen muss gleich der Anzahl der Wiederherstellungsbasisfunktionen sein. Das hat dazu gef{\"u}hrt, dass das eingef{\"u}hrt Basissys-tem (mit 2 n Basisfunktionen) nur mit n Basisfunktion verwendet werden kann. Zur L{\"o}sung diese Problems wurde ein alternatives Basissystems (Variante 2) vorgestellt. F{\"u}r die Verwendung dieses Basissystems ist aber eine Transformationsmatrix M n{\"o}tig und bei der Orthogonalisierung des Basissystems auf dem Intervall [-π,π] kann die Herleitung von dieser Matrix kompliziert und aufwendig sein. Die Formfunktionen wurden anschließend f{\"u}r die beiden Varianten hergeleitet und grafisch (f{\"u}r n = 5) dargestellt und wurde gezeigt, dass diese Funktionen die Anforderungen an den Formfunktionen erf{\"u}llen und k{\"o}nnen somit f{\"u}r die FE- Approximation verwendet werden. Anhand numerischer Simulationen, die mit der Variante 1 (mit Orthogonalisierung auf dem Intervall [-2π,2π]) durchgef{\"u}hrt wurden, wurden die grundlegenden Fragen (Beispielsweise: Stetigkeit der Verformungen auf dem Interface ΓAD, Spannungen auf dem analytischen Gebiet) {\"u}ber- pr{\"u}ft.},
  subject      = {Mathematik},
  language  = {de}
}
@misc{Bock2004,
  type      = {Master Thesis},
  author    = {Bock, Sebastian},
  title     = {Approximation mit polynomialen L{\"o}sungen der Lam{\´e}schen Differentialgleichung},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.640},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20111215-6409},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  year      = {2004},
  abstract  = {Grundidee der Arbeit ist es, L{\"o}sungen von Randwertaufgaben durch Linearkombinationen exakter klassischer L{\"o}sungen der Differentialgleichung zu approximieren. Die freien Koeffizienten werden dabei durch die Bestimmung der besten Approximation der Randwerte berechnet. Als Basis der Approximation werden vollst{\"a}ndige orthogonale und nahezu orthogonale Funktionensysteme verwendet. Anhand ausgew{\"a}hlter Beispiele mit Randvorgaben unterschiedlicher Glattheit wird am Beispiel der Kugel die prinzipielle Anwendbarkeit der Methode getestet und hinsichtlich der Entwicklung des Fehlers der N{\"a}herungsl{\"o}sung, der Stabilit{\"a}t des Verfahrens und des numerischen Aufwandes untersucht. Die erhaltenen Resultate geben einen begr{\"u}ndeten Anlass, die Anwendung der Methode als Bestandteil einer hybriden analytisch-numerischen Methode, insbesondere der Verkn{\"u}pfung mit der FEM, weiterzuverfolgen.},
  subject      = {Legendre-Funktion},
  language  = {de}
}