@phdthesis{Legatiuk,
  author    = {Legatiuk, Anastasiia},
  title     = {Discrete potential and function theories on a rectangular lattice and their applications},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.4865},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20221220-48654},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  abstract  = {The growing complexity of modern engineering problems necessitates development of advanced numerical methods. In particular, methods working directly with discrete structures, and thus, representing exactly some important properties of the solution on a lattice and not just approximating the continuous properties, become more and more popular nowadays. Among others, discrete potential theory and discrete function theory provide a variety of methods, which are discrete counterparts of the classical continuous methods for solving boundary value problems. A lot of results related to the discrete potential and function theories have been presented in recent years. However, these results are related to the discrete theories constructed on square lattices, and, thus, limiting their practical applicability and potentially leading to higher computational costs while discretising realistic domains. This thesis presents an extension of the discrete potential theory and discrete function theory to rectangular lattices. As usual in the discrete theories, construction of discrete operators is strongly influenced by a definition of discrete geometric setting. For providing consistent constructions throughout the whole thesis, a detailed discussion on the discrete geometric setting is presented in the beginning. After that, the discrete fundamental solution of the discrete Laplace operator on a rectangular lattice, which is the core of the discrete potential theory, its numerical analysis, and practical calculations are presented. By using the discrete fundamental solution of the discrete Laplace operator on a rectangular lattice, the discrete potential theory is then constructed for interior and exterior settings. Several discrete interior and exterior boundary value problems are then solved. Moreover, discrete transmission problems are introduced and several numerical examples of these problems are discussed. Finally, a discrete fundamental solution of the discrete Cauchy-Riemann operator on a rectangular lattice is constructed, and basics of the discrete function theory on a rectangular lattice are provided. This work indicates that the discrete theories provide solution methods with very good numerical properties to tackle various boundary value problems, as well as transmission problems coupling interior and exterior problems. The results presented in this thesis provide a basis for further development of discrete theories on irregular lattices.},
  subject      = {Diskrete Funktionentheorie},
  language  = {en}
}
@phdthesis{AlYasiri2017,
  author    = {Al-Yasiri, Zainab Riyadh Shaker},
  title     = {Function Theoretic Methods for the Analytical and Numerical Solution of Some Non-linear Boundary Value Problems with Singularities},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.3898},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20190506-38987},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  pages     = {164},
  year      = {2017},
  abstract  = {The p-Laplace equation is a nonlinear generalization of the well-known Laplace equation. It is often used as a model problem for special types of nonlinearities, and therefore it can be seen as a bridge between very general nonlinear equations and the linear Laplace equation, too. It appears in many problems for instance in the theory of non-Newtonian fluids and fluid dynamics or in rockfill dam problems, as well as in special problems of image restoration and image processing. The aim of this thesis is to solve the p-Laplace equation for 1 < p < 2, as well as for 2 < p < 3 and to find strong solutions in the framework of Clifford analysis. The idea is to apply a hypercomplex integral operator and special function theoretic methods to transform the p-Laplace equation into a p-Dirac equation. We consider boundary value problems for the p-Laplace equation and transfer them to boundary value problems for a p-Dirac equation. These equations will be solved iteratively by applying Banach's fixed-point principle. Applying operator-theoretical methods for the p-Dirac equation, the existence and uniqueness of solutions in certain Sobolev spaces will be proved. In addition, using a finite difference approach on a uniform lattice in the plane, the fundamental solution of the Cauchy-Riemann operator and its adjoint based on the fundamental solution of the Laplacian will be calculated. Besides, we define gener- alized discrete Teodorescu transform operators, which are right-inverse to the discrete Cauchy-Riemann operator and its adjoint in the plane. Furthermore, a new formula for generalized discrete boundary operators (analogues of the Cauchy integral operator) will be considered. Based on these operators a new version of discrete Borel-Pompeiu formula is formulated and proved. This is the basis for an operator calculus that will be applied to the numerical solution of the p-Dirac equation. Finally, numerical results will be presented showing advantages and problems of this approach.},
  subject      = {Finite-Differenzen-Methode},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Hommel1998,
  author    = {Hommel, Angela},
  title     = {Fundamentall{\"o}sungen partieller Differenzenoperatoren und die L{\"o}sung diskreter Randwertprobleme mit Hilfe von Differenzenpotentialen},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.28},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20040216-303},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  year      = {1998},
  abstract  = {Im Mittelpunkt der Dissertation steht die Theorie der Differenzenpotentiale, die eng mit der klassischen Potentialtheorie verbunden ist. Vorgestellt wird eine Methode zur L{\"o}sung von Randwertproblemen, die nicht auf der Diskretisierung einer Randintegralgleichung beruht, sondern von der {\"U}bertragung des Problems in ein Differenzenrandwertproblem ausgeht. Das diskrete Randwertproblem wird mit Hilfe einer Randreduktionsmethode auf eine Randoperatorgleichung transformiert, die detaillierter zu untersuchen ist. Voraussetzung f{\"u}r den Aufbau der Theorie ist die Existenz diskreter Fundamentall{\"o}sungen. Die Definition der Differenzenpotentiale wird von Ryabenkij {\"u}bernommen. Seine Herangehensweise f{\"u}hrt jedoch zu {\"u}berbestimmten linearen Gleichungssystemen auf dem Rand. Durch die Aufspaltung des Randpotentials in ein diskretes Einfach- und Doppelschichtpotential wird diese Schwierigkeit in der Dissertation {\"u}berwunden. Bewiesen werden Eindeutigkeits- und L{\"o}sbarkeitsaussagen f{\"u}r Differenzenrandwertprobleme. Das onvergenzverhalten der diskreten Potentiale wird im Kapitel 3 untersucht. Im Kapitel 4 werden numerische Resultate vorgestellt.},
  subject      = {Diskrete Fourier-Transformation},
  language  = {de}
}
@phdthesis{Kaemmerer1998,
  author    = {K{\"a}mmerer, Lutz},
  title     = {Mathematische Modellierung und Behandlung von Stapelproblemen},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.27},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20040216-298},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  year      = {1998},
  abstract  = {Stapelprobleme treten in der Praxis in vielf{\"a}ltiger Form auf. So finden sich Stapelprobleme in einer großen F{\"u}lle von Variationen im Logistikbereich, aber auch im Bauwesen. Zun{\"a}chst wird das klassische Turm von Hanoi Problem kurz vorgestellt. Dieses Problem wird als Stapelproblem formuliert. Weiterhin werden verzweigte Stapelproblem untersucht: Ein gegebener Stapel -- bestehend aus den Elementen v der Menge V -- soll an anderer Stelle in einer vorgeschriebenen, ver{\"a}nderten Struktur wieder aufgebaut werden. Dazu stehen Hilfsstapelpl{\"a}tze zur Verf{\"u}gung. Die Optimierung dieses Problems hinsichtlich der Anzahl der ben{\"o}tigten Hilfsstapelpl{\"a}tze ist NP-vollst{\"a}ndig. Es werden Erfahrungen mit einem Branch-and-Bound Algorithmus zur L{\"o}sung des Problems vorgestellt sowie ein heuristischer Algorithmus diskutiert. Schließlich werden verzweigte Stapelprobleme betrachtet, bei denen keine eineindeutige Zuordnung mehr von Elementen des Ausgangsstapels zu verf{\"u}gbaren Positionen im Zielstapel existiert. Hier ist schon die Bestimmung einer g{\"u}nstigsten Zuordnung in bezug auf die Anzahl ben{\"o}tigter Hilfsstapelpl{\"a}tze NP-schwer.},
  subject      = {Stapelproblem},
  language  = {de}
}
@phdthesis{AhmedElSayed2003,
  author    = {Ahmed El-Sayed, Ahmed Mohammed},
  title     = {One some classes and spaces of holomorphic and hyperholomorphic functions},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.25},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20040216-271},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  year      = {2003},
  abstract  = {In this Thesis we study some complex and hypercomplex function spaces and classes such as hypercomplex Besov spaces, Bloch space and Op spaces as well as the class of basic sets of polynomials in several complex variables. It is shown that hyperholomorphic Besov spaces can be applied to characterize the hyperholomorphic Bloch space. Moreover, we consider BMOM and VMOM spaces.},
  subject      = {Funktionenraum},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Nguyen,
  author    = {Nguyen, Manh Hung},
  title     = {µ-Hyperholomorphic Function Theory in R³: Geometric Mapping Properties and Applications},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.2447},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20150817-24477},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  pages     = {155},
  abstract  = {This thesis applies the theory of \psi-hyperholomorphic functions dened in R^3 with values in the set of paravectors, which is identified with the Eucledian space R^3, to tackle some problems in theory and practice: geometric mapping properties, additive decompositions of harmonic functions and applications in the theory of linear elasticity.},
  subject      = {Mathematik},
  language  = {en}
}
@phdthesis{Bock2010,
  author    = {Bock, Sebastian},
  title     = {{\"U}ber funktionentheoretische Methoden in der r{\"a}umlichen Elastizit{\"a}tstheorie},
  doi       = {10.25643/bauhaus-universitaet.1417},
  url       = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:wim2-20100407-15030},
  school      = {Bauhaus-Universit{\"a}t Weimar},
  year      = {2010},
  abstract  = {Die Behandlung von geometrischen Singularit{\"a}ten bei der L{\"o}sung von Randwertaufgaben der Elastostatik stellt erh{\"o}hte Anforderungen an die mathematische Modellierung des Randwertproblems und erfordert f{\"u}r eine effiziente Auswertung speziell angepasste Berechnungsverfahren. Diese Arbeit besch{\"a}ftigt sich mit der systematischen Verallgemeinerung der Methode der komplexen Spannungsfunktionen auf den Raum, wobei der Schwerpunkt in erster Linie auf der Begr{\"u}ndung des mathematischen Verfahrens unter besonderer Ber{\"u}cksichtigung der praktischen Anwendbarkeit liegt. Den theoretischen Rahmen hierf{\"u}r bildet die Theorie quaternionenwertiger Funktionen. Dementsprechend wird die Klasse der monogenen Funktionen als Grundlage verwendet, um im ersten Teil der Arbeit ein r{\"a}umliches Analogon zum Darstellungssatz von Goursat zu beweisen und verallgemeinerte Kolosov-Muskhelishvili Formeln zu konstruieren. Im Hinblick auf die vielf{\"a}ltigen Anwendungsbereiche der Methode besch{\"a}ftigt sich der zweite Teil der Arbeit mit der lokalen und globalen Approximation von monogenen Funktionen. Hierzu werden vollst{\"a}ndige Orthogonalsysteme monogener Kugelfunktionen konstruiert, infolge dessen neuartige Darstellungen der kanonischen Reihenentwicklungen (Taylor, Fourier, Laurent) definiert werden. In Analogie zu den komplexen Potenz- und Laurentreihen auf der Grundlage der holomorphen z-Potenzen werden durch diese monogenen Orthogonalreihen alle wesentlichen Eigenschaften bez{\"u}glich der hyperkomplexen Ableitung und der monogenen Stammfunktion verallgemeinert. Anhand repr{\"a}sentativer Beispiele werden die qualitativen und numerischen Eigenschaften der entwickelten funktionentheoretischen Verfahren abschließend evaluiert. In diesem Kontext werden ferner einige weiterf{\"u}hrende Anwendungsbereiche im Rahmen der r{\"a}umlichen Funktionentheorie betrachtet, welche die speziellen Struktureigenschaften der monogenen Potenz- und Laurentreihenentwicklungen ben{\"o}tigen.},
  subject      = {Lineare Elastizit{\"a}tstheorie},
  language  = {de}
}